RedCrab Math Tutorial
 

Komplexe Zahlen



   
Mit quadratische Gleichungen gibt es nicht immer eine (reelle) Lösung. Beispielsweise die Gleichung
x2 + 1 = 0 oder eben x2 = -1
Um unter anderem trotzdem mit Lösungen von solchen Gleichungen rechnen zu können, führte der Leonard Euler eine neue imaginäre Zahl ein und bezeichnete diese mit dem Buchstaben i.
Eine komplexe Zahl z besteht aus einem Realteil a und einem Imaginärteil b. Der Imaginärteil wird mit dem Buchstaben i gekennzeichnet

z = a + b i

Die imaginäre Einheit i hat die Eigenschaft

i² = -1

Dem Betrag einer komplexen Zahl entspricht in der Gaußschen Zahlenebene die Länge des Vektors z
 

Grafische Anzeige komplexer Zahlen

Um komplexe Zahlen grafisch zu interpretieren wird die Gaußschen Zahlenebene verwendet. Die Gaußschen Zahlenebene ist eine besondere Form eines normalen kartesischen Koordinatensystems. Der Unterschied liegt in der Bezeichnung der Achsen.
Auf der X-Achse der Gaußschen Zahlenebene wird der reelle Teil der komplexen zahl angezeigt. Die Achse wird entsprechen reelle Achse genannt.
Auf der Y-Achse des Koordinatensystems wird auf der Gaußschen Zahlenebene der imaginäre Teil der komplexen zahl angezeigt. Die Achse wird entsprechen imaginäre Achse genannt.
 

Das folgende Bild zeigt eine grafische Darstellung einer komplexen Zahl

Visuakisierung einer komplexen Zahl
 

Komplexer Zahlen addieren und subtrahieren

Die Addition und Subtraktion komplexer Zahlen entspricht der Addition und Subtraktion der Vektoren. D.h. die real- und imaginären Komponenten werden addiert bzw. subtrahiert. 

z1 + z2 = x1 + x2 + i (y1+ y2)

z1 + z2 = x1 - x2 + i (y1- y2)

Beispiele

(1+2i) + (4+3i) = (1+4) + i·(2+3) = 5+5i

(1+2i) + 8i = 1+10i

(1-2i) + (4+2i) = 5

Das folgende Bild zeigt eine Addition und grafische Anzeige im RedCrab Calculator
Visualisierung einer Addition komplexer Zahlen
   
 

Multiplikation komplexer Zahlen

Die Multiplikation erfolgt, indem die Klammern ausmultipliziert werden. 

z1 · z2 = (x1 + y1 i) · (x2 + y2 i)

= x1 · x2 - y1 · y2 + i (x1 · y2 + y1 · x2)

Beispiel

(1+2i) · (4+3i) = (1·4 - 2·3) + i·(1·3 + 2·4) = -2+11i

 
Das folgende Bild zeigt die Multiplikation und grafische Anzeige im RedCrab Calculator
Visualisierung komplexe Zahlen multiplizieren
 

Konjugierte einer komplexen Zahl

Zur Division einer komplexen Zahl benötigen Sie die Konjugierte einer komplexen Zahl.
  • Die Konjugierte zu   z = a + bi   schreibt man  

  • Eigenschaft der Operation:    und  

Im folgenden Beispiel wird die Summe von    und    also    gesucht
  • Summe:

  • Konjugierte:

 

Division komplexer Zahlen

Komplexe Zahlen werden dividiert, indem man den Zähler und den Nenner mit der komplex Konjugierten des Nenners multipliziert.
Beispiel zur Berechnung des Quotienten (3-2i) / (4+5i)
  • Der Realteil ist also:
  • Der Imaginärteil ist:
 
Elementare Funktionen komplexer Zahlen RedCrab
    Calculator Syntax

Komplexe Zahl kartesisch 

z = x + y ·i z = x + yi

Realteil

Re (z) = x Re (z)

Imaginärteil

Im (z) = y Im (z)

Konjugiert komplexe Zahl 

z = x - y ·i Conjugate (z)

Betrag

|z| = √x² + y² Magnitude (z)

Kehrwert

1 / z
Exponentialfunktion ez = ex · cos y + (ex sin y) · i ez

Wurzel

z

Logarithmus

ln z= 1/2 ln (x² + y²) + atan (y / x) · i Ln (z)

Sinus

sin z = sin x · cosh y + (cos x · sinh y · i) Sin (z)

Cosinus

con z = cos x · cosh y + (sin x · sinh y · i) Cos (z)

Sinus Hyperbolicus

sinh z = sinh x · cos y + (cosh x · sin y · i) Sinh (z)

Cosinus Hyperbolicus

cosh z = cosh x · cos y - (sinh x · sin y · i) Cosh (z)

Tangens

Tan (z)

 

   
 
Referenz
 
 
 
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